Matematikából is tartalmas hírlevelet szeretne kapni?
Gyakorló-feladatok minden hétre, megoldásokkal.
Ha Önnek is kell egy ilyen feladatgyűjtemény,...

  ... akkor iratkozzon fel a heti rendszerességgel érkező Matematika Segítő hírlevelemre, amiből előre értesülhet a megjelenő blogbejegyzés témájáról, olvashat elméleti és gyakorlati tanácsokról, illetve minden hétre küldök egy-egy gyakorló feladatot, melyeknek a megoldásával tovább mélyítheti matematika tudását!
  Ezen felül minden levélben kap egy feladványt, melynek megoldása szintén csiszolja elméjét. –  És mindezt kockázatmentesen...
  A rendszeres (hétfői) gyakorló feladatokat igénylők a következő AJÁNDÉKOK közül VÁLASZTHATNAK:
  A Szöveges feladatok megoldása című, (közel 200 oldalból álló) 6 részes sorozat kötetei, valamint az ehhez szorosan kapcsolódó (70 oldalas) munkafüzet, illetve az ALGEBRA – az Ön segítő partnere programcsomag bemutató – Számok normálalakja, műveletek normálalakban megadott számokkal című – kötete közül.

  Ön tehát melyik ajándékot szeretné?  »»  K L I K K   A   M E G F E L E L Ő   K É P R E !   »»
*********************************************

Ha pedig csak egyetlen témakört szeretne alaposan begyakorolni és az adott témában több feladatra lenne szüksége, kérem rendelje meg az Önnek szükséges témakört gyakoroltató megfelelő feladatlapot!

(Természetesen megoldásokkal együtt...)

További információk az
adott témát gyakoroltató feladatokról és megoldásaikról:
GYAKOROLNI SZERETNE? – Feladatlapok gyakorláshoz...


*********************************************

2012. május 14., hétfő

Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek megoldása

Az egyik alapvető téma az elsőfokú egyismeretlenes egyenletek – röviden az egyenletek.
Ezeknek a megoldása csak akkor szokott problémát okozni, ha nem vagyunk tisztában a kívánt céllal, (azaz nem tudjuk, hogy hova megy ki a folyamat vége), illetve, ha kérdéses, hogy milyen lépések vezetnek a kívánt cél eléréséhez. (Azt feltételezhetjük, hogy nincsenek korábbi hiányosságaink, pl. tudunk műveleteket végezni egész ["előjeles"] számokkal.)

Egy órán – ugyanebben a témakörben – a következő párbeszéd szokott lezajlani – általában :-)
K: - Mi is a célunk?
V: - Hogy kiszámoljuk az ismeretlen értékét.
K: - És ez mit is jelent?
V: - Hát, hogy megkapjuk az x-et.
K: - És mikor kapjuk meg az x-et?
V: - Ha megoldjuk az egyenletet.
...
A fenti párbeszédből is jól látható, hogy a cél – legtöbbször – csak körülbelül van meg. Nem látszik tisztán, hogy mit is akarunk elérni. Ám a válasz elhangzása után a ugyanezek a tanulók a fejükre csapnak és a "Ja, tényleg! Én is erre gondoltam.". De nem ezt mondta. :-) (Ez egy másik sarkalatos pont a matematikában.)

Mi is lehet egy "kedvező" válasz? Mi az, amit célként tűzhetünk ki? Mikor mondhatjuk, hogy a feladat megoldásának "oroszlán részén" már túl vagyunk?
V: - x egyenlő egy számmal (x = szám)
Ha ezt szem előtt tartjuk a feladatok megoldása során, akkor nagy probléma nem lehet, hiszen minden egyes lépés előtt végiggondolhatjuk, hogy az közelebb visz-e a célunkhoz, vagy sem.
Ha közelebb visz, akkor hajtsuk végre, ha nem, akkor keressünk olyan műveletet, ami a cél irányába viszi a feladat megoldásának menetét.

Nézzük, hogy melyek azok a lépések és sorrendjük, melyeknek következményeként gyorsan és biztosan juthatunk el a célunkhoz.

1. Törtek megszüntetése;
2. Zárójelek felbontása;
3. Összevonás;
4. Ismeretlenek rendezése az EGYIK oldalra;
5. Számok rendezése a MÁSIK oldalra;
6. Mindkét oldalt osztjuk az ismeretlen együtthatójával;
7. Ellenőrzés;

Természetesen abban az esetben ha pl. nincs zárójel, akkor automatikusan a következő lépésre mehetünk.

Mit takarnak az egyes lépések?

1-2: Talán ez a két lépés a legnehezebb, kifejtésük egy külön bejegyzést is megillet. :-)
Frissítve:
Elkészültek a megfelelő bejegyzések: :-)
1.: Link: Törtek megszüntetése;
2.: Link: Zárójelek felbontása;

3.: Mindkét oldalon összevonjuk az egynemű kifejezéseket.
Jelölés: / ö.v.
Azaz az ismeretlent az ismeretlennel, a számot a számmal. Nagyon fontosnak tartom megjegyezni, hogy amikor aláhúzással jelöljük ezeket az egynemű kifejezéseket, akkor sokan csak előjel nélkül húzzák alá őket, pedig azok hozzá tartoznak az egyes kifejezésekhez.
A másik hibaforrás, hogy egyszerre mindkét oldalon jelöljük az egynemű kifejezéseket. Javaslom, hogy egyszerre csak egy oldalon végezzük el ezeket az összevonásokat. Utána úgyis következik a másik oldal is, hiszen a sorok végén a jelölés is ezt mutatja. (Ugye a ferde vonal jelentése az, hogy: "mindkét oldallal elvégezzük a mögötte álló műveletet"! Pl.: /+3x jelentése: mindkét oldalhoz hozzáadunk 3x-et.)

4.: Rendezzük az ismeretleneket az egyik oldalra!
Jelölés: /+2x vagy /-3,7x
Tegyük fel, hogy mindkét oldalon van ismeretlen, hiszen csak ebben az esetben kell őket egy oldalra rendezni – ellenkező esetben már egy oldalon vannak, mehetnénk tovább a következő lépésre.
Úgy tudjuk őket az egyik oldalra rendezni, ha a másik oldalon levő ismeretleneket mindkét oldalból elvesszük.
Pl.:
2x+8 = 26-7x
Ebben az esetben tehetjük azt, hogy mindkét oldalból elveszünk 2x-et. Ekkor a bal oldalon 0x lesz, a jobb oldalon pedig (-9)x. A feladat megoldása során tehát (6. lépés) majd (-9)-cel kell osztanunk az egyenlet mindkét oldalát. Ez természetesen még egy hibaforrás, hiszen negatív számmal fogunk osztani, ezért fokozottan ügyelni kell az eredmény előjelére.

Ha azonban mindkét oldalból elveszünk (-7)x-et (Ez természetesen a "– · –" [értsd: mínusz szor mínusz] összefüggés alapján azt jelenti, hogy mindkét oldalhoz hozzáadunk 7x-et.), akkor a bal oldalon 9x lesz, míg a jobb oldalon lesz a 0x. Ha ezek után majd eljutunk a 6. lépéshez, akkor "csak" (+9)-cel kell osztanunk mindkét oldalt.

Azt javaslom tehát az, hogy nézzük meg az ismeretlenek együtthatóit, majd annyi ismeretlent vegyünk el az egyenlet mindkét oldalából, amelyik a kevesebb. Jelen esetben a (+2) és a (-7) közül választhatunk. Mivel a (-7) a kisebb, ezért célszerűnek tartom a /–(-7)x lépést választani.
Így a feladat a következő sorral folytatódik:
9x+8 = 26

5.: Számok rendezése a másik oldalra
Jelölés: /+12 vagy /–6,58
Ilyenkor mi is a másik oldal? Ha az ismeretlenek a bal oldalon vannak, akkor a számoknak a jobb oldalon célszerű lenniük, ha viszont az ismeretlenek a jobb oldalra kerültek, akkor a számokat a bal oldalra helyezzük. Persze nem azzal a módszerrel, hogy átírjuk, hanem megvan annak is a fortélya.

Az előző feladatot folytatva látható, hogy az ismeretlen a bal oldalon helyezkedik el, tehát a számoknak a jobb oldalra kell kerülniük. Mi az, ami "rossz" helyen van? Természetesen az ismeretlen melletti szám, azaz a (+8). Hogyan tűnik el onnan? Úgy, ha elvesszük – az egyenlet mindkét oldalából. /–8
Ha a bal oldalból elvesszük, akkor ott a 9x marad, a jobb oldalból elvéve oda a (26-8) 18 kerül:
9x = 18
6.: Mindkét oldalt osztjuk az ismeretlen együtthatójával
Jelölés: /:4 vagy /:2,5
Mi is az az együttható? Hát az az előjeles szám, ami az ismeretlen előtt áll.
Ha nincs előtte szám, akkor az együttható az 1 lesz, ám ebben az esetben nem szoktuk végrehajtani az osztást, hiszen emlékezzünk csak, mi is volt a célunk? Milyen legyen az utolsó sor alakja? Ugye! (Persze, ha mégis elvégeznénk az osztást, akkor sem lenne semmi probléma, hiszen 1-gyel osztva a számok értéke nem változik.)
Az előbbi példánál ez az együttható a 9. Tehát mindkét oldalt osztjuk 9-cel. /:9
Az eredmény pedig:
x = 2
7.: Ellenőrzés

Ez az ellenőrzés arra szolgál, hogy megnyugtassuk magunkat, hogy a kapott érték valóban igazzá teszi az eredeti egyenletet, azaz megoldása annak. (Ez nem feltétlen jelenti azt, hogy hibátlan a levezetésünk, csak azt, hogy a kapott érték igazzá teszi – vagy sem – az egyenletet.)

Az ellenőrzés első lépésében a kapott értéket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe. Mivel ekkor mindkét oldalon csak számok vannak, ki tudjuk számítani az egyes oldalakon levő műveletsorok eredményeit.
Ha ezek megvannak, akkor jön az összehasonlítás, hiszen az egyenlet állítása: a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Amennyiben ez teljesül, akkor megállapíthatjuk, hogy találtunk egy megoldást.

Megoldások száma
Felmerülhet a kérdés, hogy mindig van megoldás? Ha van, akkor mennyi?
Mondhatjuk, hogy a feladatnak mindig van megoldása. Az, hogy mennyi megoldás létezik, azt a levezetés utolsó sorától függ. Eszerint három esetet különböztetünk meg:
1. a feladatnak 1 db megoldása van;
2. a feladatnak nincs megoldása;
3. a feladatnak végtelen sok megoldása van.

A fent bemutatott feladat az első esetre mutat megoldást, azaz 1 megoldása van.
x = 2
Milyen is lehet az a feladat, aminek nincs megoldása? A válasz nem is olyan nehéz, mint gondolnánk, hiszen gyárthatunk olyan feladatot, amelynek az utolsó sora
0 = 1, általában az a = b, ahol az ab, továbbá az a és b egy-egy számot jelöl;
A 0 egyenlő az 1-gyel? Nem! Mit írhatunk az ismeretlen helyére, hogy a fenti állítás igaz legyen? Tetszőleges számot behelyettesítve az ismeretlen helyére, a 0 akkor sem lesz egyenlő az 1-gyel, azaz nem találunk olyan számot, amely igazzá tenné az egyenletet – feltéve természetesen, hogy a levezetésben nem vétettünk hibát.

Az utóbbi példa után már gyorsan meg tudjuk mondani a harmadik esetre vonatkozó "utolsó sor" típusát:
0 = 0, általában az a = a, ahol az a egy számot jelöl;
Ez pedig az ismeretlen tetszőleges értéke esetén igaz állítást eredményez.


--------------------------------------------------
Annak érdekében, hogy az Önt is érintő témákban mihamarabb megoldást nyújthassak, (amennyiben még nem tette) kérem töltse ki a kérdőívet az alábbi linkre klikkelve:
Problémát okozó matematika témakörök összegyűjtése - kérdőív
--------------------------------------------------

3 megjegyzés:

  1. miért nem vezetsz le egyet sokkal jobban meg lehetne érteni mint így!

    VálaszTörlés
    Válaszok
    1. Kedves Tibor!

      Úgy gondolom, hogy a matematikában nem az egyes feladatok megoldása az elsődleges cél, hanem inkább a megoldáshoz vezető út. Ebben a bejegyzésben az egyenletek megoldásához vezető utat olvashatja, az egyes lépések mellett pedig az ahhoz kapcsolódó példákat.

      Kérem küldje el címemre (info@matematikasegito.hu) az Ön által megoldásra váró feladatot, hogy azon keresztül mutathassam be az egyes lépések alkalmazását.

      Törlés